Формулы сокращённого умножения: примеры и ловушка скобок
Формулы сокращённого умножения: примеры, которые помогают отличить квадрат разности от разности квадратов, проверить знаки и решить короткие задания.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
В ученической записи стояло: (x − 4)² = x² − 16. Название темы было выучено, четвёрка правильно возведена в квадрат. Потерялся целый член выражения. Формулы сокращённого умножения здесь полезнее разбирать через примеры с похожим началом: тогда видно, почему квадрат разности и разность квадратов требуют разных преобразований. Я предлагаю сначала обнаружить ошибку числами, а затем объяснить её буквами. После такого объяснения будет что вспомнить, кроме расположения значков.
Мы проверили запись 2 раза. При x = 4 слева получилось 0 и справа тоже 0. Ученик уже собирался оставить решение. Я предложил взять x = 7. Слева вышло (7 − 4)² = 9. Справа — 7² − 16 = 33.
Вот теперь возник вопрос. Не «какую формулу я забыл», а «почему эти две записи вообще должны были означать одно и то же». С этого места мне удобнее начинать объяснение.
Миф: минус и два квадрата означают одну формулу
Я выписал рядом два выражения: (a − b)² и a² − b². В обоих есть a, b, минус и показатель 2. Но действия выполняются по-разному.
Первую запись я читаю так:
взять разность a и b;
возвести полученную разность в квадрат, то есть умножить её саму на себя.
Во второй записи сначала возводятся в квадрат a и b по отдельности, затем из первого результата вычитается второй. Здесь нет общего квадрата над разностью. Скобки изменили то, к чему относится степень.
Поэтому квадрат разности раскрывается через произведение двух одинаковых скобок:
(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b².
Я прошу задержаться на двух средних произведениях. Первое появилось при умножении a на −b, второе при умножении −b на a. Оба равны −ab. Убирать их некуда: вместе они дают −2ab. Последний член входит в формулу со знаком плюс, поскольку (−b)(−b) = b².
Вернёмся к начальной записи. Вместо a стоит x, вместо b стоит 4. Значит, получаем x² − 8x + 16. При x = 7 это 49 − 56 + 16 = 9. Слева тоже 9. Потерянный член вернулся на место, и изменился знак перед последним числом.
У разности квадратов другой удобный результат:
a² − b² = (a − b)(a + b).
Проверь раскрытием скобок: a² + ab − ab − b². Средние слагаемые взаимно уничтожаются. Поэтому x² − 16 превращается в (x − 4)(x + 4). Здесь две разные скобки; замена их двумя одинаковыми как раз вернула бы прежнюю ошибку.
Я заметил, что название легче удерживается, когда его произносят в порядке действий. «Квадрат разности» означает: сначала разность, затем её квадрат. «Разность квадратов» означает: сначала два квадрата, затем их разность. Читать так стоит и знакомую формулу, и новую запись с числами.
Миф: примеры на формулы сокращённого умножения узнаются по буквам
После x и четвёрки я предложил (3x − 2)². Возникла следующая остановка: в формуле ведь a и b, а здесь перед x ещё тройка. Можно ли её просто вынести за квадрат?
Нельзя сохранять тройку неизменной: (3x)² = 9x². Под обозначением a может стоять целое выражение. В нашем случае a = 3x, b = 2. На время подстановки я воспринимаю 3x как один первый компонент, а не выбираю из него понравившуюся букву.
Теперь я меняю только расположение квадратов и предлагаю 9x² − 4. Это уже разность (3x)² и 2². Здесь подходит произведение (3x − 2)(3x + 2). Тройка никуда не исчезла, но задача стала другой.
Исходная запись · Что распознаю · Результат преобразования
(x − 4)² — В квадрат возведена вся разность — x² − 8x + 16
x² − 16 — Из одного квадрата вычитается другой — (x − 4)(x + 4)
(3x − 2)² — Первый компонент равен 3x, второй 2 — 9x² − 12x + 4
В этой таблице я намеренно поставил выражения парами. Если решать подряд только квадраты разности, рука начинает писать три слагаемых ещё до чтения задания. В паре приходится выбирать действие заново. Мне нужен именно этот момент выбора.
Для проверки третьей строки подойдёт x = 2. Исходная запись даёт (6 − 2)² = 16. Преобразованная — 36 − 24 + 4 = 16. Четвёртая строка при том же x даёт 36 − 4 = 32; её произведение равно (6 − 2)(6 + 2) = 32. У похожих выражений получились разные значения. Так и должно быть.
Миф: совпавшие числа уже доказывают тождество
В начале у нас сошлись нули. Если остановиться на x = 4, неправильная запись выглядела бы проверенной. Отсюда нельзя сделать вывод, что подстановка бесполезна. Нужно точно понимать, какой вывод она разрешает.
Если левая и правая части различаются хотя бы при одном допустимом значении переменной, равенство не является тождеством. Наши 9 и 33 уже опровергли ученическую запись. Но совпадение при одном значении не объясняет, что произойдёт при остальных.
Общее обоснование мы получили раньше, раскрыв произведение (a − b)(a − b) по распределительному закону. Это рассуждение сохраняется при любых действительных a и b. В нём не требовалось угадывать удачную пару чисел.
Я использую числовую подстановку как способ обнаружить подозрительное место. Затем возвращаюсь к преобразованию и ищу причину. Если всё сошлось, я всё равно должен объяснить, откуда взялся каждый член. Несколько совпадений не заменят это объяснение.
Есть ещё одна опасность: выбрать удобное число, которое убирает трудную часть. Например, при x = 0 средний член −12x исчезает. Его отсутствие в ошибочном ответе можно не заметить. Поэтому для быстрой проверки я предпочитаю число, при котором спорный член остаётся ненулевым, а арифметику могу выполнить сам.
Миф: формулы сокращённого умножения и примеры к ним учат отдельно
Ученик может без запинки произнести формулу, а потом не узнать её в выражении. Я сам поддерживал эту привычку, когда сначала просил рассказать правило, а следом давал пять почти одинаковых упражнений. Получалось красивое воспроизведение. Проверять выбор действия такой серией неудобно.
Теперь я прошу сначала назвать первый и второй компоненты, затем сказать, что предстоит сделать: раскрыть квадрат скобки или представить разность квадратов произведением. Лишь после этого начинается вычисление. Если ответ неверен, видно, на каком выборе мы разошлись.
Вот короткая работа для самостоятельной попытки. Перед преобразованием каждой строки назови действие:
Раскрой (t − 6)².
Разложи t² − 36 на множители.
Раскрой (2t + 3)².
Разложи 4t² − 9 на множители.
В третьей строке знак изменился. Для квадрата суммы перед средним членом стоит плюс: (a + b)² = a² + 2ab + b². Это можно получить тем же умножением двух одинаковых скобок. Не переноси минус из предыдущего упражнения только потому, что остальные детали похожи.
Ответы для сверки: t² − 12t + 36; (t − 6)(t + 6); 4t² + 12t + 9; (2t − 3)(2t + 3). Если твой результат другой, сравни сначала компоненты и средний член. Переписывание всего решения не покажет, почему возникла ошибка.
До вычислений я сравниваю возможные знаки ответов. В (t − 6)² действительное число умножается само на себя, поэтому результат не меньше нуля. Для t² − 36 такого ограничения нет: при t = 2 выходит −32. У первого выражения при том же t получается 16.
Если два разных задания неожиданно дали у тебя один и тот же ответ, сравни хотя бы этот признак. Он не доказывает формулу, зато помогает заметить, что ты преобразовал соседнюю строку вместо своей. Я предпочитаю такую короткую остановку очередной серии вычислений, в которой ошибка просто повторяется.
В LibraChat можно принести собственный ход преобразования, чтобы обсудить первый сомнительный переход. Я бы предложил чату задавать вопросы перед следующим шагом:
Помоги мне разобраться с выражениями (5y − 3)² и 25y² − 9. Сначала попроси назвать, к чему относится квадрат в каждой записи. Затем спроси, какие целые выражения я беру за a и b. Дождись моего решения. Если я ошибусь, укажи первый неверный переход и дай одну подсказку. После разбора предложи другую пару для самостоятельного решения.
Попробуй отвечать на эти вопросы до вычислений. Чат тоже может ошибиться: спорное объяснение проверь раскрытием скобок и сопоставь с правилом. Больше задач такого типа можно обсудить по схеме из материала о нейросети для алгебры; условия тарифов LibraChat выбирай по своим задачам.
Я бы не считал количество решённых строк главным результатом этой тренировки. Полезнее остановиться перед двумя похожими записями и вслух объяснить, почему преобразования будут разными. После этого формула перестаёт зависеть от того, какую соседнюю строку ты только что решил.
