Функции: как составлять таблицы без лишних значений
Разбираем таблицу значений функции на одном примере: как выбрать x, учесть область определения, отличить пропуск от нуля и проверить результат подстановки.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
6 мин чтения
«Таблица значений — это просто: берёшь числа подряд и считаешь». Удобное правило, пока среди чисел не окажется одно запрещённое. В заданиях на функции вопрос «как составлять таблицы» часто сводят к аккуратному делению. Я начинаю с другого: проверяю, имеем ли мы право делить вообще. У функции y = 6/(x − 1) строка с x = 1 останется без значения y, сколько бы места мы ни оставили в тетради.
Мне нравится этот пример за его упрямство. Счёт здесь короткий, а четыре привычных представления о таблицах не выдерживают проверки. Разберём их так, чтобы затем можно было взять другую формулу и понять, с чего начать.
Миф: таблицы функции можно составлять как угодно
Для начала договоримся о буквах. x — входное значение, которое мы подставляем; y — результат вычисления по правилу функции. Каждому допустимому x соответствует ровно одно y. Запись f(x) тоже обозначает значение функции: в нашем случае f(x) = 6/(x − 1). Буква f не добавляет отдельного действия.
Знаменатель x − 1 не даёт мне подставить единицу: он обратился бы в ноль. Отсюда ограничение x ≠ 1. Если других условий в задании нет, для этой формулы разрешены все действительные числа, кроме единицы. Это её область определения. Таблица будет содержать лишь несколько выбранных чисел из этой области.
Есть важная разница между формулировками задания:
«Вычисли значения при x = −2, 0, 2» — числа уже заданы, заменять неудобное число удобным нельзя.
«Составь таблицу для построения графика» — значения обычно выбираешь сам с учётом формулы и условия.
«Рассмотри функцию при 2 ≤ x ≤ 4» — работать нужно внутри указанного промежутка, даже если сама формула допускает больше.
Однажды я попробовал начинать объяснение сразу с пустой сетки. Вопросы быстро ушли в оформление: сколько столбцов, какие отступы. Поэтому место над сеткой я отвожу записи «x ≠ 1»: она возвращает меня к допустимым значениям, пока рамка лишь задаёт место для чисел. Ограничение относится ко всему дальнейшему расчёту, а не к одной неудачной клетке.
Миф: значения x всегда идут с шагом один
Для первого знакомства я всё же выбрал соседние целые числа: от −2 до 4. Они дают удобные делители числа 6 по обе стороны от запрещённой единицы. Вот расчёт; строку x = 1 я специально оставил как напоминание об ограничении.
x · Знаменатель x − 1 · Вычисление y · Значение y
−2 — −3 — 6/(−3) — −2
−1 — −2 — 6/(−2) — −3
0 — −1 — 6/(−1) — −6
1 — 0 — Деление на ноль недопустимо — Не определено
2 — 1 — 6/1 — 6
3 — 2 — 6/2 — 3
4 — 3 — 6/3 — 2
Если нужна таблица только допустимых пар, строку с единицей убирают, а ограничение сохраняют рядом. Пара (1; «не определено») не является точкой графика. Я не ставлю вместо слов пустую клетку: иначе непонятно, забыл ли автор посчитать или обнаружил запрет.
Шаг один здесь удобен, но обязательным не становится. Можно взять x = 1,5: тогда знаменатель равен 0,5, а y = 12. Получится ещё одна допустимая пара. Дробное число ничем не хуже целого, если оно соответствует условию и его значение полезно для задачи.
Заодно посмотри на правую часть таблицы. При переходе от x = 2 к x = 3 значение y стало в 2 раза меньше: было 6, стало 3. Следующее увеличение x на единицу дало уже 2. Одинаковая прибавка к x не означает одинакового изменения y. Поэтому я не продолжаю второй ряд «по узору»: каждый результат вывожу из своего знаменателя.
Для построения графика количество и расположение точек выбирают под задачу. Эта маленькая таблица помогает увидеть отдельные пары, но сама по себе не доказывает, как ведёт себя функция между ними.
Миф: если значение не получилось, нужно написать ноль
Ноль — полноценный результат. Например, у функции y = x − 1 при x = 1 он действительно получается. В нашей дроби происходит другое: при том же x вычисление упирается в запрещённое действие 6/0. Значения нет. Подставлять вместо него 0 или знак бесконечности в таблицу значений нельзя.
Нулевой ответ не согласуется с тем, что я читаю в формуле. При допустимом x произведение y(x − 1) с y = 0 тоже было бы нулём. А исходная формула требует, чтобы оно равнялось 6. Никакой нулевой результат здесь не подходит: числитель постоянный и ненулевой.
За пределами запрещённой точки обратное действие помогает поймать арифметическую ошибку. В строке x = −1 мы получили y = −3. Умножаем: (−3) · (−2) = 6. Числитель восстановился. Если потерять минус и записать y = 3, выйдет −6, и несоответствие станет видно сразу.
Только не пытайся этой проверкой отменить область определения. Сначала выясняем, допустим ли x, потом считаем и проверяем результат. Перестановка этих действий не разрешает делить на ноль.
Миф: все клетки заполнены — значит, функция разобрана
Я встречал таблицы с верными числами и перепутанными заголовками. В нашей записи пара (2; 6) означает x = 2 и y = 6. После обмена местами получится другое утверждение: при x = 6 значение якобы равно 2. Но подстановка даёт 6/5, а не 2. Поэтому подписи — часть математического ответа.
Перед тем как переносить пары на координатную плоскость, я проверяю таблицу в таком порядке:
Сверяю формулу и её скобки с условием. Выражения 6/(x − 1) и 6/x − 1 различаются.
Нахожу запись об области определения и убираю запрещённые x из списка точек.
Пересчитываю одну отрицательную и одну положительную подстановку с промежуточным знаменателем.
Проверяю подписи x и y и порядок чисел в каждой паре.
Конечная таблица не заменяет правило функции. Она хранит выбранные значения, а формула позволяет рассчитать другие. При x = 5 наша функция даст 1,5, хотя такой строки выше нет. И отсутствие числа 5 в таблице не делает его запрещённым.
Если трудность начинается раньше — с переноса слагаемых и сохранения равенства, — пригодится разбор работы с уравнениями. А для самостоятельной тренировки открой чат LibraChat и предложи такой порядок работы:
Дана функция y = 6/(x − 1). Не заполняй таблицу за меня. Сначала попроси назвать область определения, затем предложи три допустимых x. После моего расчёта проверь подстановки и объясни первую найденную ошибку.
Я бы использовал такой диалог для проверки собственного рассуждения: сначала моя строка, затем вопрос к ней. Для регулярных занятий можно сопоставить свой режим работы с условиями тарифов LibraChat.
Самая полезная запись иногда находится над таблицей, а внутри остаётся меньше чисел, чем ожидалось. Если следующая формула — y = 8/(x + 2), какое значение x ты исключишь ещё до первого вычисления?
