Как называются формулы сокращённого умножения: названия
Как называются формулы сокращённого умножения: таблица семи тождеств, чтение скобок и проверка знаков. Разбираем квадрат суммы, разность квадратов и сумму кубов.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
6 мин чтения
«Квадрат разности», — сказал ученик, показывая на `a² − b²`. Я попросил его пока ничего не раскрывать. Только прочитать, над чем стоит каждая двойка. Оказалось, он узнавал знакомые слова, но менял их местами. Если тебе нужно вспомнить, как называются формулы сокращённого умножения, начни с этого различия: квадрат разности и разность квадратов описывают разные выражения.
В школьной таблице обычно собраны квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов и разность кубов. Общее название группы — формулы сокращённого умножения, сокращённо ФСУ. Ниже я собрал названия вместе с записями. А затем покажу, как проверить, что за названием ты действительно видишь нужное действие.
Как называются формулы сокращённого умножения в таблице
Это алгебраические тождества: равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях переменных. В приведённых формулах можно подставлять обычные действительные числа. Буквы `a` и `b` обозначают также подходящие выражения, например `2x` и `1`.
Разность кубов — `a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)`
Порядок строк в разных памятках может отличаться. Поэтому ответ «третья формула» ненадёжен: собеседник может смотреть в другую таблицу. Я прошу называть действие словами и показывать соответствующую запись.
Читать равенство можно в обе стороны. Квадрат суммы помогает раскрыть скобки, а по трёхчлену `a² + 2ab + b²` можно узнать тот же квадрат и свернуть запись. Название тождества от направления чтения не меняется.
Двойка над скобкой или над каждым слагаемым?
В `(a − b)²` в квадрат возводится вся разность. Поэтому это квадрат разности. В `a² − b²` сначала выделены два квадрата, между которыми стоит вычитание. Это разность квадратов. Скобки здесь определяют устройство выражения.
Я проверил различие на числах. Одну пару `a = 3`, `b = 2` использовал 3 раза:
Квадрат разности: `(3 − 2)² = 1`.
Разность квадратов: `3² − 2² = 9 − 4 = 5`.
Сумма квадратов: `3² + 2² = 9 + 4 = 13`.
Получились разные результаты. Теперь перестановка слов уже не выглядит безобидной. Если назвать разность квадратов квадратом разности и применить соседнее правило, изменится само значение выражения.
В квадрате разности последний член остаётся положительным: `a² − 2ab + b²`. Это хорошо видно через умножение `(a − b)(a − b)`: произведение `(−b) · (−b)` даёт `+b²`. Менять здесь все плюсы на минусы нельзя.
В формуле разности квадратов множители различаются знаком: `(a − b)(a + b)`. При раскрытии скобок слагаемые `+ab` и `−ab` уничтожаются. Поэтому остаётся именно разность квадратов. Сумму `a² + b²` эти две скобки не дадут.
Куб суммы не превращается в сумму кубов
Я сделал ещё одну пару карточек: `(a + b)³` и `a³ + b³`. По отдельности обе записи знакомы. Но первая возводит в куб всю сумму, а вторая складывает уже полученные кубы. Названия сохраняют эту разницу.
Возьмём те же числа. Куб суммы равен `(3 + 2)³ = 5³ = 125`. Сумма кубов равна `3³ + 2³ = 27 + 8 = 35`. Здесь пропущенные слагаемые особенно заметны. Правило `(a + b)³ = a³ + b³` неверно.
Для суммы кубов используется другое преобразование: `(a + b)(a² − ab + b²)`. Проверь его на той же паре: `5 · (9 − 6 + 4) = 5 · 7 = 35`. Число совпало с суммой кубов.
Сравни внутренний множитель `a² − ab + b²` с `(a − b)²` на этих числах. Первый даёт `9 − 6 + 4 = 7`, второй — `1`. Я отмечаю это различие рядом с названием: в произведении для суммы кубов использован собственный трёхчлен, и заменять его знакомым квадратом нельзя.
С разностью кубов знак в первом множителе меняется на минус, а перед `ab` во втором стоит плюс. Для `3³ − 2³` получаем `(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 19`. Нужный знак выбирается по конкретному тождеству, а не по привычке чередовать всё подряд.
Откуда взялось слово «сокращённого»
Формула позволяет использовать уже известный результат умножения вместо того, чтобы каждый раз выполнять все промежуточные действия. Например, квадрат суммы получается из `(a + b)(a + b)`. После раскрытия скобок есть `a² + ab + ab + b²`. Два одинаковых произведения дают средний член `2ab`.
Эту связь полезно восстановить самому. Когда средний член забывается, я возвращаюсь к двум множителям и прошу проследить, откуда появилось каждое произведение. Тогда коэффициент перестаёт быть случайной цифрой из памятки.
Подстановка чисел помогает обнаружить ошибку. Для опровержения неверного равенства достаточно одного подходящего примера, в котором значения различаются. Но совпадение при одной паре чисел ещё не доказывает тождество для всех значений. Для такого вывода нужны общие преобразования, как раскрытие скобок выше.
Это два разных результата проверки. Числа подсказали, что в записи есть проблема. Умножение многочленов объяснило, каким должно быть общее равенство. Я использую оба действия и не подменяю одно другим.
Как называются формулы сокращённого умножения: проверка без номера строки
Закрой колонку с названиями и попробуй назвать записи словами. Затем проверь себя в обратном порядке: произнеси «разность квадратов» и напиши выражение, по которому это название можно узнать. Начни с пары, которую раньше путал.
Моя короткая последовательность такая:
Определяю внешнее действие: возведение в степень, сложение или вычитание.
Смотрю, относится ли степень к скобке целиком или к отдельным выражениям.
Называю формулу и только потом записываю соответствующее тождество.
Проверяю коэффициенты и знаки, особенно средние члены.
При раскрытии `(2x + 1)²` по формуле квадрата суммы подставь `a = 2x` и `b = 1`. Поэтому средний член равен `2 · 2x · 1 = 4x`, а результат — `4x² + 4x + 1`. Знакомая буква `a` не обязана оставаться одной буквой в задании.
Помоги мне различать названия формул сокращённого умножения. Сначала дай одно выражение на выбор между квадратом разности и разностью квадратов. Дождись моего ответа и попроси объяснить, к чему относится степень. После проверки перейди к кубу суммы и сумме кубов. Если я ошибусь, покажи различие на числах, а затем предложи новое выражение. Не выдавай все ответы заранее.
В начале разговора ученик поменял местами два слова. Исправление началось, когда он показал, что именно возводится в квадрат. Попробуй сделать то же перед следующим преобразованием: сначала назови действие, затем выбирай строку таблицы.
