Как решать примеры с формулами сокращённого умножения
Как решать примеры с формулами сокращённого умножения: выделять части, учитывать коэффициенты и проверять обратное свёртывание без случайной подстановки.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
В записи (2x+3)² ученик оставил 4x²+9. Первый и последний квадраты вычислены верно, а выражения всё равно не равны. Пропало 12x. Когда объясняю, как решать примеры с формулами сокращённого умножения, я начинаю с этой ошибки: прежде чем писать ответ, нужно назвать целые части, которые заняли места букв в формуле.
Ниже разберём квадрат суммы, квадрат разности и произведение сопряжённых выражений. Затем пойдём обратно — от трёхчлена к скобкам. В конце покажу, почему один удобный числовой контроль иногда пропускает ошибку. Для этих задач достаточно внимательно проследить коэффициенты, знаки и назначение каждого слагаемого.
Сначала возвращаю потерянные 12x
Для первой правки обозначу через U и V целые части выражения. Квадрат суммы раскрывается как U²+2UV+V²; сейчас важно увидеть, какое произведение потерялось в записи ученика.
Вернёмся к (2x+3)². Здесь U=2x, V=3. Первый квадрат — (2x)²=4x², второй — 3²=9. Среднее слагаемое — 2·2x·3=12x. Получаем 4x²+12x+9.
Я отдельно обвожу 2x. Если возвести в квадрат только x и оставить двойку прежней, возникнет другая ошибка: 2x² вместо 4x². В роли U находится всё произведение, значит, квадрат относится и к коэффициенту.
Как решать примеры с формулами сокращённого умножения: выбор записи
После возвращения среднего члена я определяю вид следующей записи, прежде чем считать коэффициенты. Две одинаковые скобки под квадратом, произведение частей с разными знаками или уже готовый многочлен требуют разных направлений работы.
Я собрал три опоры для следующего прохода. Во всех строках U и V обозначают целые подставляемые части:
Что видно в исходнике · Шаблон · Что проверить перед применением
Квадрат суммы двух частей — (U+V)²=U²+2UV+V² — Обе части возводятся в квадрат, середина содержит их произведение
Квадрат разности двух частей — (U−V)²=U²−2UV+V² — Знак перед средним членом минус, последний квадрат прибавляется
Произведение суммы и разности тех же частей — (U−V)(U+V)=U²−V² — Части в обеих скобках совпадают, различается знак между ними
Эти равенства работают для действительных значений переменных. Здесь мы ничего не делим, поэтому отдельно исключать нулевые значения не требуется.
Я прошу ученика не переписывать весь ответ по памяти сразу. Сначала сделать маленькую карточку: U равно чему, V равно чему. Потом отдельно вычислить два квадрата и удвоенное произведение, если оно нужно. Такая пауза особенно полезна, когда внутри стоят коэффициенты.
Если формулу забыл, можно вернуться к обычному умножению двух скобок. Например, (U+V)(U+V) даёт U²+UV+VU+V². Два одинаковых перекрёстных произведения объединяются в 2UV. Так видно, почему средний член нельзя выбросить только из-за наличия квадрата.
Для произведения суммы и разности я иногда тоже расписываю обычное умножение: U²+UV−VU−V². Две перекрёстные части дают ноль, остаются U²−V². Здесь исчезновение середины объясняется противоположными слагаемыми. В квадрате суммы оба перекрёстных произведения складывались, поэтому переносить отсутствие середины с одного шаблона на другой нельзя.
Готовые обозначения помогают и при разборе формул с нейросетью. Но объяснение полезно лишь тогда, когда можно показать, какие именно выражения подставлены на каждом шаге.
Квадрат с двумя коэффициентами
Дальше беру (5a−2b)². Назначаю U=5a, V=2b и записываю три части:
U²=(5a)²=25a².
2UV=2·5a·2b=20ab.
V²=(2b)²=4b².
Поскольку исходник — квадрат разности, собираем 25a²−20ab+4b². Последний квадрат не становится отрицательным из-за минуса между исходными частями.
При этом знак перед произведением не сообщает его значение для любых a и b. Если сами переменные меняют знак, значение среднего члена тоже может измениться. Мы сейчас следим за алгебраической записью тождества, а не объявляем каждое произведение положительным.
Отрицательная часть под квадратом
Есть ещё запись, в которой видимый плюс сбивает с толку: (−2x+3)². Здесь можно взять U=−2x, V=3 и применить квадрат суммы. Первый квадрат снова 4x², но удвоенное произведение равно 2·(−2x)·3=−12x. Получается 4x²−12x+9. Плюс между U и V не гарантирует положительного среднего члена после подстановки.
Можно переписать тот же исходник как (3−2x)² и использовать квадрат разности. После упорядочивания слагаемых результат совпадёт. Я предлагаю сделать оба пути и сопоставить строки: разная удобная форма исходника не должна приводить к разным многочленам. Если ответы разошлись, ищем потерянный знак или квадрат коэффициента, а не выбираем более знакомый ответ.
Сопряжённые скобки и внешний минус
Третий пример: (3m−4)(3m+4). Здесь те же две части 3m и 4 стоят один раз с минусом, другой с плюсом. Поэтому получаем (3m)²−4²=9m²−16. Среднего члена в результате нет: при обычном раскрытии скобок перекрёстные произведения противоположны и сокращаются.
Мне помогает проверка самой пары. Если во второй скобке окажется 3m+5, применять тот же шаблон уже нельзя. Внешнее сходство двух записей не доказывает совпадения частей.
Наконец, у выражения (x+4)²−(x−4)² есть общий знак вычитания перед вторым квадратом. Сначала раскрываем оба квадрата, сохраняя вторую группу целиком:
(x²+8x+16)−(x²−8x+16).
После снятия второй пары скобок знаки всех её слагаемых меняются. Получаем x²+8x+16−x²+8x−16=16x. Если поменять только знак у x², а остальные переписать прежними, исчезнет нужное сложение двух 8x.
Это уже несколько действий, а не применение одной формулы к строке целиком. Я оставляю промежуточную запись именно для того, чтобы общий минус оставался видимым до раскрытия скобок.
Обратный проход: сверяю середину с ожидаемой
Для обратного свёртывания я проверяю все слагаемые. В выражении 4t²−12t+9 крайние части выглядят как квадраты 2t и 3. Проверяем середину: 2·2t·3=12t. Минус перед ней подходит квадрату разности, поэтому 4t²−12t+9=(2t−3)².
У похожего 4t²−10t+9 крайние квадраты те же, но середина не совпала. Записать его как (2t−3)² означало бы заменить исходный многочлен другим. Не нужно исправлять коэффициент 10 на 12 ради узнаваемого шаблона.
Я прошу сначала назвать ожидаемый средний член по двум крайним квадратам и только затем сравнить его с исходником. Так проверка получается самостоятельной, а не подгонкой объяснения под красивую скобку.
По той же причине разность квадратов можно узнавать в обратную сторону. Из 9m²−16 получаем (3m−4)(3m+4), потому что 9m²=(3m)², 16=4². Скобки здесь разные, а не две одинаковые.
Цель преобразования определяет, в какую сторону двигаться. Если нужно раскрыть скобки, получаем многочлен. Если требуется разложить на множители, ищем произведение. Сам факт, что одну запись можно переписать короче, ещё не означает, что задание просит именно это.
При регулярном разборе таких заданий сравни условия работы LibraChat со своим объёмом учебных вопросов. Условия в аккаунте помогут выбрать доступный режим, но не заменят проверку алгебраического перехода.
Контрольный лист перед готовым ответом
Я проверил первоначальную ошибку при x=0. И правильный квадрат (2x+3)², и неправильное 4x²+9 дали 9. Такая проверка не заметила потерянный средний член.
При x=1 разница уже видна: слева (2+3)²=25, справа 4+9=13. Одного несовпадения достаточно, чтобы отвергнуть равенство как тождество. Но одно совпадение ещё ничего не доказывает для всех значений.
Даже несколько выбранных точек могут не помочь. Многочлен (x−1)(x−2) равен нулю при x=1 и x=2, но не является тождественно нулевым: при x=3 он равен 2. Поэтому числовой контроль я использую как способ искать ошибку, а обоснование равенства строю по допустимым преобразованиям.
Перед готовым ответом прохожу пять шагов:
Сверяю исходное выражение с переписанной строкой.
Проверяю, что U и V обозначают целые нужные части.
Отдельно пересчитываю коэффициенты квадратов и произведения.
Ищу внешние минусы и проверяю снятие скобок.
Если сворачиваю трёхчлен, сравниваю его середину с ожидаемой.
Разбираю выражение [исходник]. Мои шаги: [строки]. Для каждого применения формулы назови целые части U и V, затем проверь их квадраты и произведение. Если переход неверен, покажи первое место расхождения. Не меняй исходные коэффициенты ради подходящего шаблона. Числовую подстановку используй как контроль, а не доказательство тождества.
Это предлагаемое поручение. В статье приведены мои решения; фактически полученный ответ сервиса не заявлен. Каждую будущую подсказку всё равно нужно сопоставить с исходной строкой.
А для своей следующей попытки возьми 4t²−10t+9. Покажи, в каком месте перестаёт подходить полный квадрат, и объясни это без подстановки удобного числа. Если видишь именно несовпадение середины, ты уже проверяешь структуру выражения, а не угадываешь знакомую формулу.
