Как сокращать дроби с формулами сокращенного умножения
Как сокращать дроби с формулами сокращенного умножения: разложение на множители, запреты для знаменателя и проверка знаков. Три примера и запрос в LibraChat.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
Я записываю сокращённую дробь вместе с ограничениями исходного знаменателя. Например, из (a² − 4)/(a² − 2a) получается (a + 2)/a, но по-прежнему нельзя брать a = 0 и a = 2. Второй запрет легко потерять: в короткой записи он уже не виден. Если разбираешься, как сокращать дроби с формулами сокращенного умножения, держи рядом исходник, разложение и допустимые значения.
Ниже — памятка с тремя примерами и проверками. На занятии я прошу ученика объяснять не зачёркивание похожих символов, а деление числителя и знаменателя на один ненулевой множитель. От этой фразы зависит весь порядок. Сумму нельзя сократить так же, как произведение, даже если одинаковые буквы очень хочется убрать.
Как сокращать дроби с формулами сокращенного умножения: порядок
Для начала посмотри на знаменатель и выпиши значения, при которых он равен нулю. Их исключают из допустимой области исходной дроби. Затем ищи общий множитель или знакомую формулу разложения. Числитель и знаменатель удобно рассматривать отдельно, пока каждый не записан как произведение.
Записать короткий результат с исходными ограничениями.
Сокращение меняет вид выражения на разрешённых значениях. Оно не делает допустимым то, что было запрещено в начале. Это особенно заметно, когда общий множитель исчезает из знаменателя целиком. Рядом с ответом остаётся условие, которое уже нельзя восстановить по одной короткой дроби.
В нашем первом примере знаменатель a² − 2a раскладывается как a(a − 2). Произведение равно нулю при a = 0 или a = 2. Числитель a² − 4 — разность квадратов. Записываем его как (a − 2)(a + 2). Теперь общий множитель действительно появился.
Полная запись преобразования: (a² − 4)/(a² − 2a) = [(a − 2)(a + 2)]/[a(a − 2)] = (a + 2)/a при a ≠ 0, 2. Здесь делим обе части дроби на a − 2. На допустимой области он не равен нулю, поэтому такое действие разрешено.
Если ты сразу видишь ответ, всё равно оставь хотя бы строку с произведениями. По ней другой человек поймёт, что именно сокращалось. Я использую её и для собственной проверки: короткий ответ без перехода слишком легко принять по привычке.
Затем полезно изменить только коэффициент в знаменателе: (a² − 4)/(2a² − 4a). Теперь снизу получается 2a(a − 2), а не a(a − 2). После сокращения общей скобки в ответе остаётся (a + 2)/(2a). Двойка никуда не делась. Если торопиться и воспроизводить прошлый ответ по внешнему сходству, её легко пропустить.
Я проверяю такое разложение обратным действием: 2a(a − 2) раскрывается в 2a² − 4a. Затем просматриваю весь знаменатель после сокращения. Это помогает отделить общий множитель от остальных. Деление на одну скобку не разрешает убрать соседнюю двойку, отдельную букву или знак, которые в выбранный множитель не входят.
Ограничения в изменённом примере прежние: a ≠ 0 и a ≠ 2. Числовой ненулевой коэффициент не добавил запрещённых значений. Значит, даже в почти одинаковых заданиях отдельно проверяем две вещи: короткую дробь и условия, при которых преобразование разрешено.
Формулу выбираю по выражению, а не по знакомым буквам
Для этих примеров понадобятся разность квадратов и квадраты суммы и разности. Буквы в общей формуле обозначают целые выражения. На месте одного квадрата может стоять не только x², но и 9x² = (3x)². Сначала нужно правильно распознать обе части.
Выражение · Разложение · Что проверяю
u² − v² — (u − v)(u + v) — Между квадратами стоит минус
u² + 2uv + v² — (u + v)² — Средний член равен удвоенному произведению
u² − 2uv + v² — (u − v)² — Средний член отрицательный, последний положительный
Однажды ученик назвал x² + 9 квадратом суммы, потому что узнал два квадрата. Я попросил раскрыть (x + 3)². Получилось x² + 6x + 9: появился средний член, которого в исходном выражении не было. Сходства крайних частей недостаточно. Обратное раскрытие скобок быстро показывает, подходит ли формула.
Во втором примере возьмём (x² + 6x + 9)/(x² − 9). Числитель равен (x + 3)², знаменатель — (x − 3)(x + 3). После сокращения одного множителя x + 3 получаем (x + 3)/(x − 3). Исходные ограничения: x ≠ −3 и x ≠ 3. Оба сохраняются рядом с ответом.
При x = −3 короткая дробь дала бы ноль, но исходная имеет нулевой знаменатель. Подставлять это значение для сравнения нельзя. Ученик иногда считает ноль «безопасным результатом» и забывает проверить, существовала ли исходная дробь. Я возвращаю его к первой строке решения.
Не все многочлены раскладываются именно этими тремя формулами. Может понадобиться вынесение общего множителя, группировка или другой способ. Если подходящая формула не находится, не нужно заменять исходное выражение похожим. Лучше остановиться на его точной записи и выбрать следующий метод.
Если разбираешь свои задания с файлами и планируешь делать это регулярно, сначала уточни нужные возможности на странице тарифов LibraChat. Для обсуждения одной дроби можно передать её текстом со скобками: важнее однозначная запись, чем сложное оформление страницы.
Три ошибки: слагаемые, знак и проверочное число
Первая ошибка — убрать одинаковое слагаемое из суммы сверху и снизу. Если в (a² − 4)/(a² − 2a) зачеркнуть a², получится 2/a. Так делать нельзя: a² не является отдельным множителем всего числителя и всего знаменателя.
Проверим при a = 4. Исходная дробь даёт (16 − 4)/(16 − 8) = 12/8 = 3/2. Ошибочное 2/a даёт 1/2. Одного расхождения достаточно, чтобы отвергнуть преобразование. Правильный результат (a + 2)/a даёт 6/4 = 3/2, как и исходник.
Вторая ошибка связана с противоположными множителями. Выражения x − 3 и 3 − x отличаются знаком. Их отношение при x ≠ 3 равно −1, а не 1. Чтобы увидеть это до сокращения, можно вынести минус: 3 − x = −(x − 3).
В третьем примере (9 − x²)/(x − 3) числитель раскладывается как (3 − x)(3 + x). Переписываем первый множитель: −(x − 3)(x + 3). После деления на x − 3 остаётся −(x + 3), ограничение x ≠ 3 сохраняется. Если раскрывать ответ, получится −x − 3, а не −x + 3.
Третья ошибка — считать одну совпавшую подстановку доказательством. Иногда неверные выражения случайно равны в отдельной точке. Числовая проверка помогает найти сбой, но правильность преобразования для всей допустимой области объясняется алгебраическими действиями. Поэтому я сохраняю разложение, даже когда числа сошлись.
При просмотре решения ищу:
произведение перед каждым сокращением;
ненулевой общий множитель;
минус у противоположных скобок;
ограничения из исходного знаменателя;
скобки вокруг всего числителя и знаменателя в строковой записи.
Последний пункт особенно нужен для переписки. Запись `a+2/a` означает a + 2/a, а не (a + 2)/a. В рукописной дроби длинная черта группирует выражение; в обычной строке эту работу выполняют скобки. Неоднозначную запись лучше исправить до обсуждения решения.
Объясни сокращение дроби (a² − 4)/(a² − 2a). Сначала найди недопустимые значения, затем разложи числитель и знаменатель на множители. Назови общий множитель и объясни, почему на него можно делить. Сохрани исходные ограничения в ответе. Отдельно покажи, почему нельзя просто убрать a² из обеих сумм. Мне нужен разбор действий, а не только короткая дробь.
Когда получишь объяснение, пройди его по исходной записи. Сначала раскрой скобки в разложении, затем сравни ограничения и только после этого проверь допустимое числовое значение. Если какое-то действие осталось непонятным, задай вопрос именно к переходу между двумя строками.
Я прошу ученика закрыть ответ и повторить решение с изменённым числом: (t² − 25)/(t² − 5t). Сначала он должен назвать запрещённые t, потом разложить обе части. Если правило понято, изменение двойки на пятёрку не требует нового способа. Но потерянное ограничение t = 5 проявится снова, если запоминать лишь короткий вид ответа.
Другие способы обсуждать решение собраны в материале про помощь с задачами. Возвращайся к ним с конкретным вопросом: где потерян знак, почему подходит формула или что запрещает знаменатель. Такой вопрос легче проверить, чем общее требование решить красиво.
А в готовой записи (a + 2)/a попробуй восстановить запреты без исходника. Видно только a ≠ 0. Второй запрет появится, когда откроешь первоначальную дробь. Поэтому я сохраняю её рядом: сокращённый ответ становится короче, а условия его использования остаются частью решения.
