Как составлять таблицу значений для графика: парабола
Как составлять таблицу значений для графика: выбираем аргументы, считаем значения и проверяем параболу. Подстановки, таблица и запрос для разбора в LibraChat.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
Для функции y = (x − 1)² − 4 я выбрал семь аргументов: от −2 до 4. Они показывают вершину, оба пересечения с горизонтальной осью и по три точки с каждой стороны от середины. Когда меня спрашивают, как составлять таблицу значений для графика, я начинаю именно с выбора x. Подстановка нужна следом. Можно без ошибок посчитать неудобные точки и всё равно плохо подготовить рисунок.
На занятии мы сначала взяли привычные 0, 1 и 2. Получили −3, −4 и −3. Все три ответа верные. Но ученик ещё не видел, где парабола пересекает горизонтальную ось, и собирался закончить её рядом с этими точками. Я предложил пока не рисовать, а объяснить, чего именно не хватает в таблице.
Как составлять таблицу значений для графика: выбираю x
Таблица состоит из выбранных аргументов и соответствующих значений функции. Первые мы берём с учётом задания, вторые вычисляем по формуле. Это разные действия. Если x задан учителем, не подменяй его более удобным. Если аргументы выбираешь сам, сначала посмотри на устройство функции.
В нашем примере выражение в квадрате равно нулю при x = 1. Тогда y = −4. Для любого другого действительного x квадрат неотрицателен, поэтому значение ниже −4 здесь не получится. Мы уже нашли вершину (1; −4) до длинной таблицы.
Равноудалённые от единицы аргументы дают одинаковые квадраты. Например, для 0 и 2 выражение x − 1 равно −1 и 1. После возведения в квадрат оба раза получаем 1. Поэтому таблицу удобно располагать вокруг x = 1, а не обязательно вокруг нуля.
Здесь подставлять можно любое действительное число: знаменателя и корня, ограничивающих выбор, в формуле нет. Для нашего рисунка беру целые x от −2 до 4. Это удобный набор для данного примера. Правила «любому графику достаточно семи строк» не существует.
Если условие требует построение только на отрезке [0; 2], аргументы −2 и 4 уже выходят за задание. Тогда я оставлю границы, вершину и при необходимости добавлю точки внутри отрезка. Даже полезный приём приходится согласовывать с тем, какой рисунок нужен.
Семь строк: подставляю число вместе со знаком
Для x = −2 я записываю целую подстановку: y = (−2 − 1)² − 4 = (−3)² − 4 = 9 − 4 = 5. Скобки сохраняют отрицательное число целиком. Если потерять их или начать возводить в квадрат только часть выражения, получится уже другое вычисление.
При x = −1 ход такой: (−1 − 1)² − 4 = (−2)² − 4 = 4 − 4 = 0. Нулевое значение полезно отметить отдельно: соответствующая точка лежит на горизонтальной оси. В нашей таблице такая точка будет не одна.
x · x − 1 · (x − 1)² · y = (x − 1)² − 4
−2 — −3 — 9 — 5
−1 — −2 — 4 — 0
0 — −1 — 1 — −3
1 — 0 — 0 — −4
2 — 1 — 1 — −3
3 — 2 — 4 — 0
4 — 3 — 9 — 5
Промежуточные колонки я оставил для разбора. По ним видно, в каком действии появилась ошибка. Для окончательной короткой таблицы достаточно двух колонок x и y, если решение уже понятно. Однако убирать пояснение только ради аккуратности рано, когда знак минус ещё вызывает сомнение.
Проверь две симметричные строки: при x = −1 и x = 3 получаем y = 0. Аргументы находятся на одинаковом расстоянии от единицы. Та же связь видна у −2 и 4, у 0 и 2. Мы проверили не просто похожие цифры, а свойство именно этой функции.
Дополнительную строку можно взять с дробным аргументом. Для x = 2,5 получается (1,5)² − 4 = 2,25 − 4 = −1,75. Это не обязательное восьмое значение. Оно пригодится, если хочется точнее отметить участок между двумя целыми аргументами или потренировать подстановку десятичной дроби.
Слишком крупный шаг скрывает важную часть рисунка. Если взять только −2 и 4, обе строки дадут 5. По двум одинаковым значениям легко ошибочно провести горизонтальную линию. Формула между ними при этом достигает −4. Мы теряем не точность вычислений, а сведения о поведении функции между выбранными аргументами.
Добавлять много строк подряд тоже не всегда полезно. В этом примере сначала нужна вершина и точки по обе стороны от неё. После этого я решаю, нужен ли более подробный участок. Так количество подстановок следует из задачи построения, а не становится отдельным соревнованием: кто заполнил больше клеток.
У дроби сохраняется тот же порядок действий. Сначала вычисляем всё выражение в скобках, затем квадрат и только потом вычитаем четыре. Я прошу ученика проговорить этот порядок до калькулятора: неверно набранную формулу устройство вычислит очень уверенно.
Проверяю расчёт отдельно от оформления
Для таблицы в Excel можно разместить аргументы в A2:A8, а в B2 записать `=(A2-1)^2-4` и распространить формулу вниз. Знак `^` обозначает степень. Скобки удерживают разность целиком. В соседних строках ссылка должна переходить к соответствующему аргументу: A3, A4 и далее.
После заполнения я выбираю одну среднюю строку и смотрю её формулу. Затем одну строку считаю вручную. Это разные проверки: первая помогает заметить неверную ссылку, вторая — ошибку в самом выражении, которая могла одинаково повториться по всему столбцу.
Полезно сверить результаты с тем, что уже известно о функции. Значение ниже −4 противоречит неотрицательности квадрата. Неравные значения у аргументов 0 и 2 противоречат симметрии нашего выражения. Но сама симметрия ещё не гарантирует правильность: ошибочно прибавленная вместо вычтенной четвёрка тоже даст симметричную таблицу.
Мой порядок проверки:
Сопоставить записанную функцию с условием.
Просмотреть выбранные x и границы задания.
Вручную пересчитать одну подстановку со знаком минус.
Проверить значение в вершине.
Сравнить пары равноудалённых аргументов.
Сохранить подписи колонок перед переносом точек.
Если собираешься регулярно разбирать таблицы и прикладывать свои файлы, сравни нужный способ работы с условиями доступа LibraChat. Само вычисление этой небольшой задачи можно сначала пройти на бумаге: выбор тарифа не отвечает на вопрос, почему x = 1 важен.
Для следующего этапа пригодится разбор математических графиков. Возвращайся к нему с подписанной таблицей, чтобы обсуждать конкретные точки, а не восстанавливать, какой столбец был аргументом. Я оставляю запись функции прямо над таблицей: спустя несколько дней она объясняет числа лучше памяти о занятии.
Из таблицы получаю точки, затем проверяю рисунок
Каждая строка задаёт пару (x; y). На координатной плоскости сначала находят положение по горизонтали, затем соответствующее значение по вертикали. Например, строка x = 3, y = 0 даёт точку (3; 0), а строка x = 1, y = −4 — вершину (1; −4). Менять координаты местами нельзя.
Укажи масштаб каждой оси и соблюдай его на всей оси. Одинаковым приращениям x должны соответствовать одинаковые расстояния по горизонтали. Я прошу отдельно показать шаг в одну единицу: иначе верные точки иногда оказываются на рисунке с произвольными промежутками.
Парабола этой функции проходит через выбранные точки и продолжается за край таблицы, если условие не ограничивает область построения. Её не нужно превращать в ломаную, соединяя соседние точки линейкой. Здесь форму мы знаем по квадратичной функции. Для произвольной неизвестной зависимости несколько точек сами по себе не доказывают поведение между ними.
Если нужно обсудить свой выбор, передай таблицу в LibraChat вместе с формулой и условием. Я предложил бы такой запрос:
Разбери мою таблицу для y = (x − 1)² − 4. Объясни, почему аргументы от −2 до 4 удобны для рисунка. Проверь каждую подстановку и отдельно вершину, симметричные пары и нулевые значения. Если найдёшь ошибку, покажи действие, где она возникла. Не ограничивайся готовой картинкой: мне нужно понять выбор точек.
Полученный разбор сравни со своими вычислениями. Таблица в ответе не доказывает, что все действия верны. Мне полезно сначала спрятать подсказку и объяснить одну строку самостоятельно. Если без неё я снова не понимаю квадрат отрицательного выражения, к рисованию ещё рано.
Попробуй заменить функцию на y = (x + 2)² − 4. Где будет середина удобного набора аргументов? Ответь до новой таблицы. Именно способность объяснить, какие x ты выбираешь и зачем, показывает, что таблица стала частью решения, а не отдельным упражнением на счёт.
