Уравнения: примеры с решениями по типам и типичные ошибки
Уравнения, примеры с решениями: линейные, с дробями, квадратные и системы — по шагам, с типичной ошибкой каждого типа и проверкой подстановкой.
Андрей
Преподаватель, научный редактор
8 мин чтения
Уравнение 3(x − 2) + 4 = 2x + 7 решается в четыре строки, и ответ x = 9 проверяется за секунду: подставляешь девятку в исходное уравнение, слева выходит 25, справа 25. Не сошлось бы — значит, ошибка выше, и её видно сразу. На этом стоит любая работа с примерами уравнений: решить, подставить, найти шаг, где равенство перестало быть верным.
Как преподаватель я бы советовал не читать решения подряд, а закрывать их и решать самому. Пример полезен, только когда ты сравниваешь со своим ходом решения, а не просто киваешь.
Тип уравнения видно до всякого решения. Если неизвестное стоит только в первой степени, уравнение линейное. Если оно в числителе дробей с числами в знаменателе, это то же линейное, только с дробями. Если после раскрытия скобок и приведения подобных остаётся x², а в знаменателе неизвестного нет, — квадратное. Проверять именно после упрощения важно: в (x + 1)² = x² + 5 квадраты сокращаются, и уравнение оказывается линейным. Если x стоит в знаменателе, уравнение дробно-рациональное, и у него своя обязательная проверка. Два неизвестных и два уравнения в фигурной скобке — система. От типа зависит первый шаг, поэтому определять его стоит раньше, чем браться за ручку.
Линейные уравнения: примеры и перенос со сменой знака
Пример: 3(x − 2) + 4 = 2x + 7.
Сначала раскрываем скобки: 3x − 6 + 4 = 2x + 7. Разбор этого уравнения я получил в LibraChat (запрос — в последнем разделе), и правило для шага там названо так:
Правило: распределительное свойство умножения относительно вычитания — множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри.
Потом приводим подобные слева: 3x − 2 = 2x + 7. Затем убираем 2x из правой части:
Правило: если из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же выражение, равенство сохранится.
Получаем x − 2 = 7, прибавляем 2 к обеим частям: x = 9. Проверка: слева 3 · (9 − 2) + 4 = 25, справа 2 · 9 + 7 = 25. Сошлось.
Второй пример, без скобок: 4x + 7 = 2x − 5. Переносим: 4x − 2x = −5 − 7, отсюда 2x = −12 и x = −6.
Типичная ошибка этого типа — перенести слагаемое и забыть сменить знак. Тогда выходит 4x − 2x = −5 + 7, то есть x = 1. Подстановка ловит это мгновенно: слева 11, справа −3. Мне нравится, что разбор называет правило на каждом шаге. «Переносим с другим знаком» — это сокращение, а настоящее правило звучит как «вычитаем одно и то же из обеих частей». Кто понимает второе, тот и со знаком при переносе не путается.
Уравнения с дробями: умножить всё, а не половину
Пример: (3x + 1)/4 − (x − 3)/2 = 1.
Общий знаменатель — 4. Умножаем на 4 каждое слагаемое, включая единицу справа: 3x + 1 − 2(x − 3) = 4. Раскрываем скобку с минусом перед ней: 3x + 1 − 2x + 6 = 4. Приводим подобные: x + 7 = 4, отсюда x = −3.
Здесь ошибок две, и обе я ждал бы в контрольной. Первая: умножить на знаменатель только дроби, а единицу справа оставить как есть. Вторая: раскрыть −2(x − 3) как −2x − 6. Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого внутри, поэтому −2 · (−3) даёт плюс шесть.
Отдельный случай — когда x стоит в знаменателе. В уравнении x²/(x − 3) = 9/(x − 3) знаменатели одинаковые, и кажется, что можно просто приравнять числители: x² = 9, корни 3 и −3. Но при x = 3 знаменатель обращается в ноль, и такого числа уравнение не допускает. Ответ — только −3. Ошибка здесь в том, чтобы забыть проверить, не обнуляет ли корень знаменатель.
Квадратные уравнения: дискриминант или Виет
Пример: x² − 5x + 6 = 0.
Через дискриминант: a = 1, b = −5, c = 6, значит D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Корни: x = (5 ± 1)/2, то есть 3 и 2.
По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение 6. Пара чисел с такой суммой и произведением — 2 и 3.
Какой способ брать, я спросил отдельно:
Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0 двумя способами — через дискриминант и по теореме Виета — и объясни, когда какой способ удобнее.
Ответ объяснил выбор коротко и точно:
Дискриминант — универсальный метод: он работает при любых коэффициентах, в том числе дробных и иррациональных, и сразу показывает, сколько корней (два, один или ни одного).
Если корни не целые или подобрать их не получается, Виет не заменяет формулу, а только проверяет уже найденные корни.
Второй пример: 2x² + 3x − 5 = 0. D = 9 + 40 = 49, x = (−3 ± 7)/4, корни 1 и −2,5. Виет тут неудобен: старший коэффициент не единица, сумма и произведение корней дробные (−3/2 и −5/2), и корень −2,5 подбором не угадать. Я бы дописал к ответу одно: при старшем коэффициенте не единица теорема Виета тоже работает, только сумма корней равна −b/a, а произведение c/a.
Отдельно неполные уравнения. В 2x² − 8x = 0 выносим x за скобку: 2x(x − 4) = 0, корни 0 и 4. Типичная ошибка — разделить обе части на x и потерять корень 0. В x² − 9 = 0 корней тоже два, 3 и −3, и минус-три теряют не реже. И ещё одна мелочь, которая стоит баллов: квадрат отрицательного числа положителен, (−5)² = 25, а не −25.
Системы: сложение или подстановка
Пример: x + y = 5 и 2x − y = 4.
Способ сложения: складываем уравнения, y уходит, остаётся 3x = 9, значит x = 3. Подставляем в первое: 3 + y = 5, y = 2. Проверка второго: 2 · 3 − 2 = 4. Сошлось.
Способ подстановки: из первого y = 5 − x, подставляем во второе: 2x − (5 − x) = 4, то есть 3x − 5 = 4 и x = 3. Дальше то же.
Сложение удобно, когда коэффициенты при одной переменной противоположны, как здесь у y. Подстановка — когда одну переменную легко выразить. Если противоположных коэффициентов нет, их делают: в паре 2x + 3y = 13 и x − y = 4 второе уравнение умножают на 3, получают 3x − 3y = 12, и при сложении y уходит. Остаётся 5x = 25, x = 5, а из второго уравнения y = 1. Ответ (5; 1), и оба уравнения сходятся. Типичная ошибка — найти x и остановиться. Ответ системы — пара чисел, (3; 2), и проверять нужно оба уравнения, а не одно.
Где взять ещё примеры и как с ними работать
Свой набор для тренировки удобно получить в LibraChat. Главное — попросить ответы отдельно, чтобы не подсмотреть раньше времени:
Составь пять уравнений для самопроверки в 8 классе: два линейных, одно с дробями, одно квадратное и систему из двух линейных уравнений. Сначала дай только условия, а решения с ответами — отдельным блоком в самом конце, чтобы я сначала решил сам.
Класс и состав набора меняй под себя. Ответ пришёл ровно в таком виде: сначала пять условий, потом отдельно решения с ответами. Я пересчитал все пять — ответы верные. Но это не повод верить любому набору: подстановку делай сам, на это и рассчитан пример.
Подстановку тоже стоит делать по правилам, иначе она пропускает ошибки:
подставляй ответ в исходное уравнение, а не в строчку из середины решения: ошибка могла случиться раньше;
в квадратном уравнении проверяй оба корня, а не первый попавшийся;
в системе подставляй пару в оба уравнения;
считай каждую часть отдельно и только потом сравнивай.
Если застрял на конкретном уравнении, полезнее не просить ответ, а попросить объяснить шаги:
Объясни по шагам, как решить уравнение 3(x − 2) + 4 = 2x + 7, и на каждом шаге назови правило, которое применяется. В конце покажи, как проверить ответ подстановкой.
Подставь своё уравнение вместо этого. Так ты получаешь не ответ, а ход решения, который можно повторить на следующем примере. Как нейросеть помогает с алгеброй шире, разобрано в статье нейросеть для алгебры, а о том, где ей можно доверять при решении уравнений и где нет, — в материале решить уравнение нейросетью.
Вот пять уравнений из того набора. Три из них ты уже видел в разборах выше — закрой их и реши заново: 4x + 7 = 2x − 5; 3(2x − 1) = 5x + 9; (3x + 1)/4 − (x − 3)/2 = 1; x² + 2x − 15 = 0; система x + y = 5 и 2x − y = 4. Реши их сам, потом сверь: −6; 12; −3; −5 и 3; (3; 2). Где разошлось — подставь свой ответ и найди шаг, на котором равенство перестало быть верным.
